문제 해결을 위한 비법옛날 그리스에서는 눈금없는 자와 컴퍼스만 가지고 모든 도형을 작도할 수 있다고 생각하였다. 그러나 직각과 같은 특수각을 제외하고는 임의의 각을 3등분 하는 것이 해결되지 않았다. 고대 그리이스 이후 2000여년 동안 많은 수학자들이 이 문제를 푸느라 매달렸는데도 불구하고 이 문제는 해결되지 않았다.그러다가 마침내 이 문제에 결론은 내린 사람은 17세기의 수학자 데카르트(R. Descartes ; 1596~1650)이었 다.그의 결론은 다음과 같았다.결 론자와 컴퍼스 만으로는 임의의 각을 삼등분 하는 것은 불가능하다.그러자 수학자들이 불만섞인 목소리로 소리쳤다.수학자들: 이게 뭐야  이걸 말이라고 하는 거야  너 지금 어른을 놀리냐 데카르트: 당신들은 '어떻게 작도하면 될까 ' 하는 것만 생각하면서 2000년이란 세월을 보낸 바보들이야. 무엇 때문에 안되는가 하는 것을 체계적으로 증명해 보이겠다. 그래야 다시는 그걸 고민하다가 숨넘어 가는 일이 없을 게 아냐 2000년도 더 넘게 계속되어 온 이 고민스러운 문제에 데카르트가 종지부를 찍을 수 있었던 것은 사고방식을 달리한 데서 비롯되었다. 다른 수학자들은 "자와 컴퍼스만 가지고 어떻게 작도하냐 "하고 그 방법을 찾는 데에만 몰두하고 있을 때 데카르트는 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는 형태는 어떤 것인지를 생각하였다.이와 같이 기존의 방법에서 벗어나 생각을 달리해 본 것이 뜻밖의 결과를 가져온 것이다. 그러자 그 문제 때문에 청춘을 보낸 수학자들은 청춘을 보상해달라고 길거리에서 하소연 했다는 전설()이 있다.그러면 데카르트는 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 것과 할 수 없는 것을 어떻게 증명할 수 있었을까  먼저 더하기 연산이다. A라는 길이와 b라는 길이가 있을 때, a+b라는 길이를 작도하려면 긴 선분에 각 길이를 컴퍼스로 그대로 옮겨놓으면 된다. 또 빼기는 반대로 해주면 된다. 곱하기와 나누기는 비례 관계를 이용한다.이런한 사칙연산 외에 할수 있는 작도는 제곱근을 구하는 것이다. (이에 대해 자세히 알고싶은 사람은 중학교 과정의 수학책 '작도'부분을 보면 나와있음) 그러므로 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 것은 사칙연산과 제곱근뿐이다.이제는 각을 3등분 하는 문제를 방정식으로 바꾸어, 이 다섯가지의 계산만으로 풀수 있는지를 살 펴보면 된다. 그런데 그 식을 찾아보면, 임의의 a 에 대하여 X^3 - 3X + a = 0을 만족하는 X를 찾는 문제 가 된다. 이 계산은 특수한 a가 아니고서는 사칙연산과 제곱근의 계산만으로는 풀수 없다. 그러므로 임의의 각을 3등분하는 것은 불가능하다는 결론이 나오는 것이다.뚜렷한 수학적 지식이나 문제해결에 대한 계획 없이 그냥 어떻게 하다보면 되지 않을까 하는 요행을 바라고 하는 일은 항상 실패로 돌아가기 마련인 것이다. 그래서 중국의 손자는 " 승리를 해놓고 싸움을 한다."라는 이해하기 힘든 말을 했던 것이다. 그것은 철저한 준비와 계획을 통해 상대와 나의 장 단점을 안 후에 이길 수 있다면 움직이라는 말인 것이다.또 한가지 이 예화에서 배울 것이라면 생각의 전환이다. 이 지상에 나타났다 사라져간 수많은 인류의 스승들은 모두 '그대의 실체를 찾기 위한다면 마음을 버리라'고 말한다. 그런데 마음을 버리려 하면 할 수록 마음은 결코 버려지지 않는다. 왜냐하면 버리려는 그 의도가 바로 또 하나의 마음이기 때문이다. 아 ! 그런데 당신은 이것을 보는가  바로 당신은 이 모든 과정들 -- 마음속에 생각이 일고, 이 생각들을 버리려 하고, 생각들이 버려지지 않고, 그 때문에 괴롭고 -- 하는 이 모든 과정들을 당신은 알고 있는 것이다. 그렇다면 도대체 누가 이 마음 밖에서 이 모든 것을 알고 있는 것일까 영원의 시대 홈페이지